Black Scholes Model BREAKING DOWN Modèle Black Scholes Le Black Scholes Model est l'un des concepts les plus importants dans la théorie financière moderne. Il a été développé en 1973 par Fisher Black, Robert Merton et Myron Scholes et est encore largement utilisé en 2016. Il est considéré comme l'un des meilleurs moyens de déterminer des prix justes des options. Le modèle Black Scholes requiert cinq variables d'entrée: le prix d'exercice d'une option, le cours actuel, le délai d'expiration, le taux sans risque et la volatilité. En outre, le modèle suppose que les cours des actions suivent une distribution log-normale parce que les prix des actifs ne peuvent pas être négatifs. De plus, le modèle suppose qu'il n'y a pas de coûts de transaction ni d'impôts, le taux d'intérêt sans risque est constant pour toutes les échéances, la vente à découvert de titres avec utilisation du produit est permise et il n'y a aucune possibilité d'arbitrage sans risque. Formule Black-Scholes La formule d'achat Black Scholes est calculée en multipliant le cours par la fonction de distribution de probabilité normale cumulée. Par la suite, la valeur actuelle nette (VAN) du prix d'exercice multiplié par la distribution normale cumulative est soustraite de la valeur résultante du calcul précédent. En notation mathématique, C SN (d1) - Ke (-rT) N (d2). Inversement, la valeur d'une option de vente peut être calculée à l'aide de la formule suivante: P Ke (-rT) N (-d2) - SN (-d1). Dans les deux formules, S est le prix de l'action, K est le prix d'exercice, r le taux d'intérêt sans risque et T le délai d'échéance. La formule pour d1 est: (ln (SK) (r (volatilité annualisée) 2 2) T) (volatilité annualisée (T (0,5))). La formule pour d2 est: d1 - (volatilité annualisée) (T (0.5)). Limitations Comme indiqué précédemment, le modèle Black Scholes n'est utilisé que pour le prix des options européennes et ne tient pas compte du fait que les options américaines pourraient être exercées avant la date d'expiration. En outre, le modèle suppose que les dividendes et les taux sans risque sont constants, mais cela peut ne pas être vrai en réalité. Le modèle suppose également que la volatilité reste constante sur la durée de vie des options, ce qui n'est pas le cas parce que la volatilité fluctue avec le niveau de l'offre et de la demande. Simulation Monte Carlo avec GBM Une des méthodes les plus courantes pour estimer le risque est l'utilisation d'une simulation Monte Carlo (MCS). Par exemple, pour calculer la valeur à risque (VaR) d'un portefeuille, nous pouvons exécuter une simulation Monte Carlo qui tente de prédire la pire perte probable pour un portefeuille donné un intervalle de confiance sur un horizon de temps spécifié - nous devons toujours spécifier deux Conditions de la VaR: confiance et horizon. (Pour les lectures connexes, voir Les utilisations et limites de la volatilité et Introduction à la valeur à risque - Partie 1 et Partie 2.) Dans cet article, nous allons examiner un MCS de base appliqué à un prix des actions. Nous avons besoin d'un modèle pour spécifier le comportement du cours des actions, et bien utiliser l'un des modèles les plus courants en finance: mouvement brownien géométrique (GBM). Par conséquent, alors que la simulation de Monte Carlo peut se référer à un univers de différentes approches de la simulation, nous allons commencer ici avec les plus élémentaires. Où commencer Une simulation Monte Carlo est une tentative de prédire l'avenir à plusieurs reprises. À la fin de la simulation, des milliers ou des millions d'essais aléatoires produisent une distribution des résultats qui peuvent être analysés. Les étapes de base sont les suivantes: 1. Spécifier un modèle (par exemple, le mouvement brownien géométrique) 2. Générer des essais aléatoires 3. Traiter la sortie 1. Spécifier un modèle (par exemple GBM) Dans cet article, nous allons utiliser le mouvement brownien géométrique (GBM) Qui est techniquement un processus de Markov. Cela signifie que le cours des actions suit une marche aléatoire et est compatible avec (au moins) la forme faible de l'hypothèse de marché efficace (HEM): les informations sur les prix passés sont déjà incorporées et le mouvement des prix suivant est conditionnellement indépendant des mouvements de prix passés . (Pour plus d'informations sur EMH, lisez Travailler à travers l'hypothèse de marché efficace et ce qui est l'efficacité du marché) La formule pour GBM se trouve ci-dessous, où S est le prix de l'action, m (le mu grec) est le rendement attendu. S (sigma grec) est l'écart-type des retours, t est le temps, et e (epsilon grec) est la variable aléatoire. Si nous réarrangons la formule pour résoudre juste pour la variation du cours des actions, nous voyons que GMB dit que la variation du cours des actions est le cours boursier S multiplié par les deux termes trouvés à l'intérieur de la parenthèse ci-dessous: Le premier terme est une dérive et le second Terme est un choc. Pour chaque période de temps, notre modèle suppose que le prix sera dérivé par le rendement attendu. Mais la dérive sera choquée (ajoutée ou soustraite) par un choc aléatoire. Le choc aléatoire sera l'écart-type s multiplié par un nombre aléatoire e. Il s'agit simplement d'un moyen de mettre à l'échelle l'écart-type. Le prix des actions suit une série d'étapes, où chaque étape est un dérive plusminus un choc aléatoire (lui-même une fonction de l'écart-type des stocks):
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